Tema Nº 3 matemática I

Conjunto de los números naturales. Se denota con la letra N

Los números naturales son los que utilizamos para contar, numerar,… pertenecen al sistema de numeración decimal, ya que utiliza diez (0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9) dígitos para escribir o representar cualquier cantidad.

Los números naturales comienzan desde el cero hasta el infinito, porque siempre habrá un número mayor que otro.

Representación gráfica: los números naturales se representan gráficamente por medio de segmentos de rectas. Para ello se elige un segmento cualquiera, que representa el uno, o segmento unidad. (Se ejemplificará en clase)

0 1 A

Cada número natural se representa por un segmento que contiene el segmento unidad tantas veces como elementos tiene el conjunto que representa el número. (Se ejemplificará en clase)0 1 A 2 B

Suma: El conjunto suma es reunir todos los elementos que integran los conjuntos dados: Ejemplo sumar AB;MNP;QRS ; es formar el conjunto ABMNPQRS.

Suma de números naturales: el signo de la suma es (+) y sus términos se llaman sumandos (3508016+2647575+4823767)= suma 10979358.

Propiedades de la adición:

a) Conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma: a+b+c+=b+c+a=c+b+a…etc.

b) Asociativa: la suma de varios números no varía sustituyendo varios sumandos por la suma: 3+4+5+6=(3+4)+(5+6)=3+(4+5+6).

c) Elemento neutro: En la adición el elemento neutro es el cero, si le sumamos una cantidad cualquiera, el resultado es la misma cantidad:3455+2590+0=6051.

Cuando todos los sumandos son 1 la suma es igual al número de sumandos: a= 1+1+1+1+1= (a Sumandos 1) =4

Resta o substracción: Es la operación inversa de la suma el signo de la resta es (-) y sus términos son: Minuendo(M)(93254)- Sustraendo(S)(58074) = Diferencia (D)(35175). Prueba: D+S=M ó también M-D=S.

Operaciones indicadas de suma y resta sin signos de agrupación. (se efectúan en el orden que se encuentran) 5+4-3+2….5+4=9-3=6+2=8.

Operaciones indicadas con signos de agrupación: se efectúan las operaciones encerradas dentro de los paréntesis, hasta convertirlas en un solo número y luego efectuar las operaciones que queden indicadas, como en el caso anterior: (7-2)+(5+4)-(3-2)= (7-2=5); (5+4=9); (3-2=1) y tendremos: 5+9+1= 15

Propiedades de la suma y la resta:

a) Suma de un número y una suma indicada: Para sumar un número con una suma indicada se suma el número con uno cualquiera de los sumandos de la suma: (a+b+c+)+d = a+(b+c+)+d Ejemplo: (2+3+4)+5= 2+(3+4)+5=14

b) Suma de dos sumas indicadas: para sumar dos sumas indicadas se suman todos los sumandos que la forman: (a+b)+(c+d+e)=a+b+c+d+e. Ejemplo: (5+6)+(7+8) = 5+6+7+8=26.

c) Suma de un número y una diferencia indicada: para sumar un número con una diferencia indicada, se suma el número con el minuendo y de esta suma se resta el substraendo. (a-b)+c=(a+c)-b. Ejemplo: (7-5)+4= (7+4)-5= 11-5=6

d) Suma de diferencias indicadas: para sumar dos o más diferencias indicadas, se suman los minuendos y de esta suma se resta la suma de los substraendos. (a-b)+(c-d)= (a+c)-(b+d). Ejemplo: (8-5) +(6-4)= (8++6)-(5+4)=14-9=5

e) Suma de una suma y una diferencia indicada: para sumar una suma con una diferencia indicada, se restan del número, uno a uno, todos los sumandos de la suma. a-(b+c+d)= a-b-c-d. Ejemplo: (5+4)+(8-6)=(4+5+8)-6=17-6=11

Resta.

f) Resta de un número y una suma indicada: para restar un número de una suma indicada, se restan del número, uno, a uno, los sumandos de la suma. a-(b-c-d)=a-b-c-d. Ejemplo: 25-(2+3+4)= 25-2-3-4= 16.

g) Resta de una suma indicada y un número: para restar una suma indicada de un número, se resta el número de cualquier sumando de la suma. (a+b+c)-d=(a-d)+b+c. Ejemplo: (4+5+6)-3= (4-3)+5+6=12

h) Resta de un número y una diferencia indicada: para restar un número de una diferencia indicada, se resta del minuendo la suma del substraendo y el número. (a-(b-c)=(a+b)-c. Ejemplo: 50-(8-5) = (50+5)-8 =47; 50-(8-5)=(50+5)-(8-5+5)=(50+5)-8.

i) Resta de una diferencia indicada y un número: para restar una diferencia indicada de un número, se resta del minuendo la suma del substraendo y el número. (a-b)-c= a-(b+c). Ejemplo: (15-7)-6= 15-(7+6)=15-13= 2

j) Resta de dos sumas indicadas: para restar dos sumas indicadas, se restan de la primera suma, uno a uno, todos los sumandos de la segunda suma. (a+b)-(c+d)=a+b-c-d. Ejemplo: (4+5)-(2+3)= 4+5+-2-3=4

k) Resta de dos diferencias indicadas: para restar dos diferencias indicadas, se suman el minuendo de la primera con el substraendo de la segunda y de esta suma se resta la suma del substraendo de la primera con el substraendo de la segunda. (a-b)-(c-d)=(a+d)-(c+b).Ejemplo:(8-1)-(5-3)=(8+3)-(5+1)=11-6=5.

l) Resta de una suma y una diferencia indicada: para restar una suma de una diferencia indicada, se suma el substraendo con la suma indicada (a+b)-(c-d)=(a+b+d)-c. Ejemplo: 8+4)-(3-2)= (8+4+2)-3=14-3=11

CASOS PARTICULARES.

1) La suma de dos números mas su diferencia es igual al duplo del mayor: sean los números 8 y 5, decimos que (+5)+(-5) = 2 x 8 = 16. En forma general: (a+b)+(a-b) = 2a

2) La suma de dos números menos su diferencia es igual al duplo del menor: sean los números 8 y 5, decimos que: (8+5) - (8-5) = 2 x 5 = 10 En forma general: (a+b)-(a-b) = 2b

Multiplicación.

El producto de dos números se indica con el signo (x) o con un punto colocado entre los factores, que es el nombre que se da al multiplicando y al multiplicador. Cuando los factores son literales o un número con una letra se suele omitir el signo entre los factores.

Propiedades de la multiplicación

a) Conmutativa: el orden de los factores no altera el producto: a.b.=b.a. Ejemplo: 2x4x5 = 5x4x2=x4x5x2.

b) Asociativa: si una multiplicación tiene dos o mas factores podemos agrupar o asociar a algunos y el resultado multiplicarlo por los factores restantes. (a.b).c. Ejemplo: 165.28.5= (165.28).5 = 4620.5=23100

c) Elemento neutro: el elemento neutro de la multiplicación es el uno (1) todo número multiplicado por uno es igual al mismo número. 13968 x 1 =13968 – Ax1 =A

d) Propiedad distributiva de la m ultiplicación con respecto a la adición: se multiplica cada sumando por el factor y se suman los productos parciales.(5 +4) 2 =(5.2)+(4.2)= 10+8=18

e) Multiplicación por la unidad seguida de ceros: Agregamos a la derecha tantos ceros como acompañen a la unidad. Ejemplo: 3698x1000=3698000.

DIVISIÓN.

Es la operación inversa de la multiplicación, que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). El signo de la división es dos puntos separados por una rayita horizontal; una rayita horizontal o inclinada colocada entre el dividendo y el divisor. D(dividendo); d(divisor) c ( cociente) entonces: D/d=c 8/4 = 2 porque 2x4= 8.

División exacta: Es cuando existe un número entero que multiplicado por el divisor da el dividendo, o sea, cuando es múltiplo del divisor. 24/8= 3 es exacta porque 8 es el cociente exacto, indica que 24 contiene a 3 ocho veces.

División entera o inexacta: cuando no existe ningún número entero que multiplicado por el divisor dé el dividendo, o sea, cuando el dividendo no es múltiplo del divisor.23/6 es entera o inexacta porque no existe ningún número entero que multiplicado por 6 nos dé 23, o sea, no es múltiplo de 6.

División entera por defecto y por exceso: La división 23/6 no es exacta porque 23 no es múltiplo de 6, pero se tiene que: 3x6= 18<23 y 4x6=24>23; lo que indica que el cociente exacto de 23/6 es mayor que 3 y menor que 4. En este caso, 3 es el cociente entero por defecto y 4 es el cociente entero por exceso. cd<D y (c+1)d>D

División por la unidad seguida de ceros: para dividir un entero por la unidad seguida de ceros, se separan de su derecha, con la coma decimal, tantas cifras como ceros acompañen a la unidad, porque con ello el valor relativo de cada cifra se hace tantas veces menor como indica el divisor. 567/ 10 = 56,7

Múltiplos: los múltiplos de un número natural son aquellos que lo contiene un número exacto de veces; los múltiplos de un número son todos aquellos números que resultan de multiplicar ese número por el conjunto de los números naturales. Los múltiplos son infinitos, un número es múltiplo de si mismo y el cero es múltiplo de cualquier número. El conjunto de los múltiplos de un número se denota M(n), así: M(30)= (30)(0); (30)(1); (30)(2);(30)(3);(30)(4);(30)(5)…= 0; 30;60;90;120;150…

Divisores de un número: Son todos aquellos números que lo dividen exactamente. Un número es divisible por otro cuando el resultado de la división es exacta, es decir, el residuo es cero (0). El conjunto de los divisores de un número es finito, es decir, cada número es divisible o tiene por divisores un número limitado de números. Todos los números son divisibles por la unidad y por si mismos. El conjunto de los divisores se denota D(n), así D(28) = 1;2;4;7 y 28.

Números primos: Son aquellos números que sólo tienen dos divisores exactos, el número uno y el mismo número. Por ejemplo, los números 2,3,5,7,11,29,37…

Nota: todos los números primos son impares excepto el dos (2), sin embargo no todos los números impares son primos.

Números compuestos: son todos aquellos número s que tienen mas de dos divisores exactos, es decir que además de ser divisibles por la unidad y ellos mismos también son divisibles por otros números. Por ejemplo: 4;6;16;24;…

Criterios de divisibilidad:

a) Los números pares o que terminen en 2 son divisibles entre 2.

b) Los números que terminen en 0 ó en 5 son divisibles entre 5.

c) Los números que terminen en 0 son divisibles entre 10

d) Un número es divisible entre 3 cuando la suma de sus valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 3.

Mínimo común múltiplo: (m.c.m) de varios números es el número de menor valor numérico que es múltiplo para todos. Por ejemplo, para determinar el m.c.m de los siguientes números 3,4 y 2 procedemos de la siguiente manera:

1er método.

Construimos un conjunto de múltiplos de cada número:

M(3) = 3-6-9-12-18-21-24-27-30…

M84) = 4-8-12-16-20-24-28-32-36-40…

M(2)= 2-4-6-8-10-12-14-16-18-20…

Encontramos que 12 es múltiplo de los tres números dados, ya que es el menor múltiplo común a los tres números.

2º método Cuando los números propuestos son mayores que 10, los descomponemos en sus factores primos; luego se expresan en forma de potencia, y finalmente se toman los comunes y no comunes con su mayor exponente, el producto de esos factores es el m.c.m.

Ejemplo: Determinar el m.cm. de (21; 32;15) al descomponerlo:

21= 3 . 7; 32= 2 elevado a la 5. y 15= 3.5. los factores comunes y no comunes con su mayor exponente3,5,7 y 2 a la cinco= 3360.

3er método se explicará en clase: descomponer todos los factores unidos.

Máximo común divisor: (M.C.D) de varios números es el mayor de los divisores que es común a una serie de números. Por ejemplo, los números 54 y 36.

1er método.

D(54)= 1;2;3;6;9;18;27 y 54

D836)= 1;21;3;4;6;9;12;18 y36. Los divisores comunes son 1;2;3;6;9 y 18.El mayor de los divisores comunes es 18. Entonces el M.C.D de 54 y 36 es 18.

2º método: Descomponer en factores primos, expresarlos en forma de potencia y se toman sólo los que son comunes con su menor exponente. (12;18 y 60) Se realizará en clase.